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Une introduction à la théorie des files d'attente

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Théorie des files d'attente est l'étude mathématique de la file d'attente ou des files d'attente. Les files d'attente contiennent les clients (ou «éléments») tels que des personnes, des objets ou des informations. Des files d'attente se forment lorsque les ressources sont limitées pour fournir une un service. Par exemple, s'il y a 5 caisses enregistreuses dans une épicerie, des files d'attente se formeront si plus de 5 clients souhaitent payer leurs articles en même temps.

Un basique système de file d'attente se compose d'un processus d'arrivée (comment les clients arrivent à la file d'attente, combien de clients sont présents au total), de la file d'attente elle-même, du processus de service permettant de répondre aux besoins de ces clients et de départs du système.

Mathématique modèles en file d'attente sont souvent utilisés dans les logiciels et les entreprises pour déterminer le meilleur moyen d’utiliser des ressources limitées. Les modèles en file d'attente peuvent répondre à des questions telles que: Quelle est la probabilité qu'un client attende 10 minutes en ligne? Quel est le temps d'attente moyen par client?

Les situations suivantes illustrent comment la théorie de la mise en file d'attente peut être appliquée:

  • Faire la queue dans une banque ou un magasin
  • Attente d'un représentant du service clientèle pour répondre à un appel après que l'appel a été mis en attente
  • En attente d'un train à venir
  • Attendre qu'un ordinateur exécute une tâche ou réponde
  • En attente d'un lave-auto pour nettoyer une chaîne de voitures

Caractériser un système de file d'attente

Les modèles de file d'attente analysent comment les clients (y compris les personnes, les objets et les informations) reçoivent un service. Un système de file d'attente contient:

  • Processus d'arrivée. Le processus d'arrivée est simplement comment les clients arrivent. Ils peuvent faire la queue seuls ou en groupes et arriver à certains intervalles ou au hasard.
  • Comportement. Comment les clients se comportent-ils quand ils sont en ligne? Certains pourraient être disposés à attendre leur place dans la file d'attente; d'autres peuvent devenir impatients et partir. D'autres encore peuvent décider de rejoindre la file d'attente plus tard, par exemple lorsqu'ils sont mis en attente avec le service clientèle et décider de rappeler dans l'espoir de recevoir un service plus rapide.
  • Comment les clients sont servis. Cela inclut la durée de service d'un client, le nombre de serveurs disponibles pour aider les clients, si les clients sont servis un par un ou par lots, ainsi que l'ordre dans lequel les clients sont traités, également appelé discipline de service.
  • Discipline de service fait référence à la règle par laquelle le prochain client est sélectionné. Bien que de nombreux scénarios de vente au détail utilisent la règle du «premier arrivé, premier servi», d'autres situations peuvent nécessiter d'autres types de services. Par exemple, les clients peuvent être servis par ordre de priorité ou en fonction du nombre d'articles dont ils ont besoin (par exemple, dans une voie express dans une épicerie). Parfois, le dernier client à arriver sera servi en premier (comme dans le cas d’une pile de vaisselle sale, celle du dessus étant la première à être lavée).
  • Salle d'attente. Le nombre de clients autorisés à attendre dans la file d'attente peut être limité en fonction de l'espace disponible.

Mathématiques de la théorie des files d'attente

La notation de Kendall est une notation abrégée qui spécifie les paramètres d'un modèle de base de mise en file d'attente. La notation de Kendall est écrite sous la forme A / S / c / B / N / D, où chaque lettre représente un paramètre différent.

  • Le terme A décrit le moment où les clients arrivent dans la file d'attente - en particulier le temps entre les arrivées ou temps interarrival. Mathématiquement, ce paramètre spécifie la distribution de probabilité que suivent les temps interarrives. Une distribution de probabilité commune utilisée pour le terme A est la distribution de Poisson.
  • Le terme S décrit le temps nécessaire pour qu'un client soit traité après avoir quitté la file d'attente. Mathématiquement, ce paramètre spécifie la distribution de probabilité que ces temps de service suivre. La distribution de Poisson est également couramment utilisée pour le terme S.
  • Le terme c spécifie le nombre de serveurs dans le système de mise en file d'attente. Le modèle suppose que tous les serveurs du système sont identiques, ils peuvent donc tous être décrits par le terme S ci-dessus.
  • Le terme B spécifie le nombre total d'éléments pouvant être dans le système et inclut les éléments toujours dans la file d'attente et ceux en cours de traitement. Bien que de nombreux systèmes dans le monde réel aient une capacité limitée, le modèle est plus facile à analyser si cette capacité est considérée comme infinie. Par conséquent, si la capacité d'un système est suffisamment grande, on suppose généralement que le système est infini.
  • Le terme N spécifie le nombre total de clients potentiels - c’est-à-dire le nombre de clients pouvant entrer dans le système de file d’attente - qui peut être considéré comme fini ou infini.
  • Le terme D spécifie la discipline de service du système de mise en file d'attente, telle que premier arrivé, premier servi ou dernier entré, premier sorti.

Petite loi, qui a été prouvé pour la première fois par le mathématicien John Little, indique que le nombre moyen d'éléments dans une file d'attente peut être calculé en multipliant le débit moyen auquel les éléments arrivent dans le système par le temps moyen qu'ils y passent.

  • En notation mathématique, la loi de Little est la suivante: L = λW
  • L est le nombre moyen d'articles, λ est le taux d'arrivée moyen des articles dans le système de file d'attente et W est la durée moyenne pendant laquelle les articles passent dans le système de file d'attente.
  • La loi de Little suppose que le système est dans un «état stable» - les variables mathématiques qui le caractérisent ne changent pas avec le temps.

Bien que la loi de Little n'ait besoin que de trois entrées, elle est assez générale et peut être appliquée à de nombreux systèmes de mise en file d'attente, quels que soient les types d'éléments de la file d'attente ou le mode de traitement des éléments dans la file d'attente. La loi de Little peut être utile pour analyser les performances d'une file d'attente dans le temps ou pour évaluer rapidement les performances d'une file d'attente.

Par exemple: une entreprise de boîtes à chaussures souhaite déterminer le nombre moyen de boîtes à chaussures stockées dans un entrepôt. La société sait que le taux moyen d'arrivée des boîtes dans l'entrepôt est de 1 000 boîtes à chaussures / an et que le temps moyen qu'elles passent dans l'entrepôt est d'environ 3 mois, soit un quart de l'année. Ainsi, le nombre moyen de boîtes à chaussures dans l’entrepôt est donné par (1000 boîtes à chaussures / an) x (¼ an), soit 250 boîtes à chaussures.

Clés à emporter

  • La théorie des files d'attente est l'étude mathématique de la file d'attente ou des files d'attente.
  • Les files d'attente contiennent des «clients» tels que des personnes, des objets ou des informations. Des files d'attente se forment lorsque les ressources disponibles pour fournir un service sont limitées.
  • La théorie des files d’attente peut s’appliquer à des situations allant de la file d’attente à l’épicerie à l’attente d’un ordinateur pour effectuer une tâche. Il est souvent utilisé dans les logiciels et les applications d'entreprise pour déterminer la meilleure façon d'utiliser des ressources limitées.
  • La notation de Kendall peut être utilisée pour spécifier les paramètres d'un système de mise en file d'attente.
  • La loi de Little est une expression simple mais générale qui peut fournir une estimation rapide du nombre moyen d'éléments dans une file d'attente.

Sources

  • Beasley, J. E. «Théorie des files d'attente».
  • Boxma, O. J. «Modélisation de la performance stochastique.» 2008.
  • Lilja, D. Mesurer les performances de l'ordinateur: Guide du praticien, 2005.
  • Little, J. et Graves, S. «Chapitre 5: La loi de Little». Building Intuition: informations tirées des modèles et principes de gestion des opérations de base. Springer Science + Business Media, 2008.
  • Mulholland, B. «La loi de Little: comment analyser vos processus (avec des bombardiers furtifs).» Process.st, 2017.



Commentaires:

  1. Vromme

    Je pense que tu as tort. Discutons. Envoyez-moi un e-mail en MP, nous parlerons.

  2. Darwin

    Je m'excuse, mais à mon avis, vous vous trompez. Entrez, nous discuterons. Écrivez-moi dans PM, nous allons le gérer.

  3. Micaiah

    À mon avis, c'est un thème très intéressant. Donnez avec vous nous communiquerons en MP.



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